摘要：为了改善具有大惯性的船舶航向保持效果，在简捷鲁棒控制的比例部分加上一个正数，通过对系统的稳态和动态性能的理论分析，该方法在不改变系统的稳态性能的基础上改善了系统的动态性能。针对“育龙”轮进行了系统仿真，系统的调节时间由原来的700s下降为100s，结果验证了本方法的有效性。
关键词：船舶、舰船工程；闭环增益成形；航向保持；鲁棒控制
船舶运动具有大惯性特点，时间常数为几十秒甚至可达几百秒，舵效响应缓慢。对于一艘时间常数为200s左右的船舶，一般的控制算法能使系统的调节时间在300～800s之间，如果要进一步缩短调节时间，控制算法需要进一步繁化，将对算法的推广造成理解上的信息不对称。
闭环增益成形算法利用H∞鲁棒控制理论混合灵敏度算法的结果（即灵敏度函数S和补灵敏度函数T的形状），用构造方法设计出鲁棒控制器，所用参数都是具有工程意义的，是一种简化的H∞鲁棒控制算法。文献[l]首先提出了SISO（Single input Single output）系统的闭环增益成形算法，文献[2]系统地给出了整个算法，文献[3]通过引进二阶深严格真模型证明了闭环增益成形算法的特例即为PID（Proportional-integral-derivative）控制算法；文献[4-6]通过引进镜像映射的概念将闭环增益成形算法推广应用于不稳定系统设计中；文献[7]将闭环增益成形算法应用于MIMO（multiple-input and multiple-output）系统中，文献[8]阐述闭环增益成形算]法为简H∞鲁棒控制算法；文献[9]将闭环增益成形算法应用于SIMO（single input multiple output）系统中；文献[10]将闭环增益成形算法与非线性控制的精确反馈线性化方法相结合给出一种SISO系统非线性鲁棒控制算法；文献[11]将闭环增益成形算法与非线性控制的Backstepping方法相结合给出另外一种SISO系统非线性鲁棒控制算法；文献[12]和文献[13]给出闭环增益成形算法与不对称理论相结合的结果；文献[14]将闭环增益成形算法推广到离散系统中去；文献[15]说明闭环增益成形算法是一种基于信息对称的简捷控制算法。文献[16]给出了神经网络直接逆控制与鲁棒控制相结合的方案；文献[17]给出了神经网络监督控制与鲁棒控制相结合并应用船舶航向保持的研究。本文针对船舶运动的大惯性特点，在算法的比例部分加上一个正数，改善控制的动态性能，通过理论分析证明了其可行性。
1 闭环增益成型算法
H∞鲁棒控制理论解决了频域中MIMO系统鲁棒控制器的设计问题，但为了获得性能完善的鲁棒控制器，需要高深的数学基础指导整个设计过程，并进行大量的实验以选择权函数，采用特定的软件包，由此求得高阶次的控制器。相对于获得的控制器具有鲁棒性这一优点来说代价有时未免太大。笔者基于对H∞鲁棒控制理论中混合灵敏度算法及回路成形算法的深入理解，以及大量的控制器设计实践经验，考虑到补灵敏度函数丁和灵敏度函数S的相关性（T=I-S），提出了闭环增益成形控制算法，后者也可以说是一种简化的SIT混合灵敏度算法，该算法以物理理解取代繁琐的数学演绎，工程意义明确、清晰，设计所得的控制器阶次较低，具有控制性能和鲁棒稳定性良好的特点。
闭环增益成形算法利用H∞控制的混合灵敏度控制算法的结果，用具有工程意义的4个参数直接构造出补灵敏度函数T，T和S具有相关性，从而间接地构造出了S，然后反推出控制器K。如果说，H∞控制的混合灵敏度控制算法是正向思维的产物，回路成形算法可以说是发散思维的产物，而闭环增益成形算法则是逆向思维的产物。其核心是直接用构造的系统闭环传递函数矩阵的表达式设计控制器，用于构造T的4个参数（最大奇异值、带宽频率、关门斜率及闭环频谱峰值）都具有实际的工程意义。由于S和T的相关性间接确定了S的形状，进而保证了系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能，其特点是立论的物理概念清晰，求解过程异常简单。
观察图1所示的典型的S&T奇异值曲线，为使系统鲁棒稳定，要求系统闭环频谱为低通的，且最大奇异值为1以保无静差地跟踪参考信号r；系统的带宽频率决定了系统的控制性能；而频谱的关门斜率决定了系统对有效频带以外干扰的敏感程度，斜率越大，对干扰的影响越不敏感，系统的鲁棒性能越强，但如关门斜率取得太大，设计出的控制器阶数增高，不利于控制器的实现且控制效果并无明显改善。一般地，关门斜率取-20dB/dec，-40dB/dec和-60dB/dec。
设闭环系统的带宽频率为1/T1（严格说应为交接频率），下面以关门斜率（或称高频渐近线斜率）取、-20dB/dec时求取图2所示标准反馈系统的闭环增益成形控制器。
将T的奇异值曲线近似表示为最大奇异值为1的一阶惯性系统的频谱曲线，则
(1)
从式（1）可以看出，G不含积分项，K含积分项，保证了整个系统可以消除静差。按实际的闭环系统性能确定带宽频率1/T1后，闭环增益成形控制算法设计出的控制器只取决于被控对象G，该算法事先选定了灵敏度函数S和补灵敏度函数T的形状，从而保证了系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性。
2 改进的船舶简捷鲁棒控制算法
船舶航向保持是一个典型的SISO问题。取舵角S为被控对象输入，艏向角ψ为被控对象输出，可得到被控对象的Nomoto传递函数数学模型
Gψδ（s）= K0/（s（T0s+1））
将船舶的Nomoto模型代人式（1）得
(2)
从式（2）可以看出，基于闭环增益成形得出的航向控制器具有PD（Proportional-derivative）控制器形式。如果用二阶或三阶闭环增益成形算法设计船舶航向保持控制器，其结果也可以看做是一个PD控制器乘以一个一阶惯性环节或二阶振荡环节。
在实际应用时，对于大型油轮等时间常数较大的船舶，发现其控制的调节时间较长。对于船舶航向保持控制系统来说，如果不进行零极点对消（对于稳定的系统，设计控制器时，零极点对消不影响其设计结果），系统的闭环传递函数为s（Tos＋1）/（T1Tos3＋（T1＋To）S2＋s），该传递函数可用Hutton提出的基于稳定性考虑的降阶算法即利用Routh因子的近似方法降为一阶l/（Tos＋l）（当To<T1时）[18]。根据一阶惯性系统的特性，其调节时间为3To，故对于大惯性系统来说，其调节时间较长，而将式（2）PD部分中的P加上一个正数时，其动态性能大幅度改善，通过理论分析，对简捷鲁棒控制算法中的P加上一个正数，其稳态性能不会改变，而动态性能能够提高。
2.1对于系统的影响
2.1.1对系统稳态的影响
设参考输入为阶跃信号，幅值为r，设控制器P部分加上的正数为ρ，对于式（2）的控制器，根据终值定理，图2系统的稳态输出为
y（∞）=
输出稳态误差为
r－y(∞)=r－r=0
故改进的简捷鲁棒控制对系统的稳态不产生影响。
2.1.2对系统的动态的影响
从系统的输出ψ到设定航向ψr的传递函数为
(3)
现回顾一下Nomoto模型的推导过程，由3自由度船舶运动状态空间型数学模型经拉普拉斯变换后得到传递函数型的数学模型为
（4）
这是一个3阶系统，具有两个非零极点和一个零点。野本对3阶船舶模型式（4）做了一项出色的简化工作，使之降为二阶，论证的出发点在于，对于船舶这种大惯性的运载工具来说，其动态特性只在低频段是重要的，故在式（4）中令s=jω→0，且利用两个熟知的近似关系：当x→0时有1／（1＋x）≈1－x，(1－x）≈l／（l＋x），并忽略二阶及三阶小量，由此导出著名的Nomoto模型
(5)
式（5）中，增益Ko与3阶模型相同，时间常数T0= T1＋T2－T3。
文献[19]指出尽管式（5）从数学推导上并不是特别严密的，但对于时间常数较大的船舶来说，式（5）仍然是可用的，从Bode图近似上，式（5）也是正确的。
对于式（3）同样应用式（4）到式（5）的推导过程，得出
(6)
而未经改进的原系统传递函数为
(7)
式（6）与式（7）相比，系统的时间常数由Tl变为了Tl／（ρK0T1＋1），如果ρ选择1~10之间的一个数，则系统的调节时间将大幅度减少（Tl一般取为大于3的正数以使l／Tl小于海浪的频谱，K0T1一般介于0.4~2.0之间），调节时间由3T0降为3T0／（ρK0T1＋1）。
3 仿真结果分析
以大连海事大学实习船“育龙”号为例，其船舶参数为：两柱间长126m，船宽20.8m，满载吃水8.0m，方形系数0.681，航速15kn，舵叶面积18.8m2，排水量14278.1m3。由这些参数可得出船舶Nomoto模型的操纵性指数为K0=0.48s-l，T0=216.58s，α=9.16，β=10814.30，为响应α、β型非线性Nomoto模型参数。仿真时取ρ=1，航向保持控制器的有效工作带宽频率为1/3rad/s，则设计参数T1=3，这样可以使闭环控制系统将海浪的频谱抑制在控制器工作带宽之外。在仿真时还考虑了舵机的特性，其数学模型采用单油路模拟控制变量的舵机系统[20]，其中舵机伺服系统的最大舵速设为士2.3(°)／s。
对于海浪干扰，仿真时采用一种简单的模拟方法，即用白噪声驱动一个典型的2阶振荡环节，在6级风作用下得到的海浪模型的传递函数为
h（s）=
假设在船舶设定航向为30°，风力为6级，风向为50°时的情况下做仿真实验，得到的仿真曲线如图3~图4所示，图4的调节时间由图3的700s降为300s。图5给出了p=4时的仿真结果，分析仿真曲线可知，适当调整ρ的值，系统的调节时间可由初始的700s降为100 s左右。设计控制器时用的是船舶运动线性Nomoto数学模型，而在仿真时用了响应型非线性Nomoto数学模型并加入了舵机特性，相当于数学模型产生了模型摄动，而控制效果仍能满足要求，说明控制器具有一定的鲁棒性。
4 结语
本文以提高大惯性船舶航向保持的动态性能为研究目的，采用在简捷鲁棒控制的比例部分加上一个正数的方法改进了原鲁棒控制算法。通过理论分析和实际的仿真试验验证了所采用方法的有效性。对于二阶或三阶闭环增益成形算法及非线性闭环增益成形算法，在实践中其比例部分加上一个正数也能改善系统的动态性能。
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作者：张显库，关巍 来源：中国航海
