摘要：为实现舰船纵摇和升沉运动的解耦，基于保结构同谱流算法，提出一种解耦变换的寻找方法，将寻找解耦变换的非线性问题转化为Sylvester方程的求解问题，并利用矩阵Kronecker积的相关知识快速找到解耦变换.基于水池实验获得的纵向运动数据进行的数值实验仿真结果表明该方法确实可行.
关键词：舰船纵向运动；保结构同谱流；水动力系数；二阶微分系统
中图分类号：U661.32 文献标志码：A
Numerical decoupling of ship vertical motion system
WANG Shu-juana，SHEN Ji-honga，LI Ji-deb
（a.College of Science;b.College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China)
Abstract:To realize the ship vertical motion decoupling，a method to find out decoupling transforms was proposed based on structure preserving isospectral flows (SPIF)，which converting nonlinear problem in the process of finding out decoupling transforms into the solution of Sylvester equation，and matrix Kronecker product knowledge was used for finding decoupling transforms out quickly.Numerical experiments based on pool experiment data show the feasibility of the proposed method.
Key words:ship vertical motion;structure preserving isospectral flows(SPIF);hydrodynamic parameters;quadratic system
0 引 言
船舶在海上的运动往往是几种简单运动的叠加，可以概括为六个自由度的摇荡运动.船舶各自由度的运动是相互耦合的，因此，在研究船舶运动特性时，通常假设六个自由度运动是相互独立的.但实际上，船舶运动方程可以分解为两组耦合方程，即纵向运动一一升沉、纵摇和纵荡，横向运动一一横荡、横摇摇和艏摇.纵向运动中，纵荡对升沉和纵摇的耦合作用较小，通常忽略.纵摇和升沉通常是在恶劣气候里限制航速的主要因素，在大浪中对船体结构有重大影响，因此研究舰船纵向运动具有重要意义[1-2].但研究舰船纵向运动需要研究其解耦问题，以去除纵摇和升沉运动的相互耦合影响.
基于船舶水动力理论建立的纵向运动方程为典型的二阶微分系统，为此，本文引入二阶系统解耦理论研究该问题.数值代数领域通过保持Lancaster结构来研究二阶系统的解耦问题[3-6]，通过寻找等价变换来实现Lancaster结构中块阵的对角化，但该变换的数值求解涉及非线性方程组求解问题，难以实现.在文献[3-4]的基础上，文献[5]从理论上证明几乎对所有的二阶系统均存在等价变换将系统解耦，但并未给出等价变换的数值求解方法.文献[6]提出应用保结构同谱流方法研究二阶系统的解耦问题，通过一系列的保结构、保谱变换实现二阶系统的解耦.但该方法只能给出解耦后系统的形式，不能给出相应的解耦变换，这使得系统还原及系统分析无法进行，而且该方法所定义的保谱流的保谱性质还有待进一步完善.
本文提出一种解耦变换的寻找方法，将寻找解耦变换的非线性问题转化为Sylvester方程求解问题，并利用矩阵Kronecker积的相关知识快速而方便地给出二阶系统的解耦变换.对水池试验获得的舰船纵向运动数据所建立的运动方程进行解耦，数值试验结果表明该方法确实可行.
1 二阶系统解耦方法
1.1 舰船纵向运动方程
根据船舶水动力理论，在波浪中航行的船舶在水平舵作用下纵向运动方程可表示为：
其中：z表示垂荡；θ表示纵摇.将式(1)表示成矩阵形式：
其中：M、C、K和F分别为质量、阻尼、刚度和外力矩阵，且
则舰船纵向运动方程为典型的二阶微分系统[1-2].
1.2 基于保结构变换的二阶系统解耦
设式(2)的齐次解x(t)有如下形式：
x(t)=eλtu （3）
则数值λ和U向量为二阶特征值问题的非平凡解.
Q(λ)u=(λ2M+λC+K)u=0 （4）
文献[3-4]中提出了实现三矩阵的同时对角化的一种方法.很容易证明式(4)所描述的二阶特征值问题等价与广义特征值问题：
其中，L(λ)为Lancaster结构，
很明显，M为非奇异时，有
如果存在非奇异的2n×2n矩阵Πt和Πr表示的等价变换保持式(6)的Lancaster结构，即
使得MD、CD和KD均为对角矩阵，则式(3)表述的二阶特征值问题等价于完全解耦的系统，即
（λ2MD+λCD+KD）z=0 （9）
在MD，M均为非奇异情况下，特征向量u和z具有如下关系
通过保持Lancaster结构，该方法将多自由度的系统直接与单自由度的系统链接起来.根据Garvey等的思路，文献[5-6]中给出将原始的n自由度系统解耦为n个单自由度系统的集合的实值变换几乎对所有的二阶系统均存在，并通过保结构同谱流的数值方法来研究二阶系统的解耦.
1.3 基于同谱流的二阶系统解耦
若令
定义两个随时间变化的保结构变换TL(t)，TR(t)∈R2n×2n,且
其中，t∈R，且TL(0)=TR(0)=I2n.若TL(t)和TR(t)非奇异，则（A(t)，B(t)）与(A0，B0)同谱.此时一类具有特殊形式的TL(t)和TR(t)可定义为
其中，Lij(t)，Rij(t)(i，j=1，2)为n×n阶矩阵.则有
若保结构由式(11)有
式(13)构成了一个具有5n2个方程、8n2个未知数的线性系统，系统的解具有3n2个自由度，即三个n×n阶自由参数矩阵.在此按照文献[6]的方式引入参数矩阵D、NL、NR，使得
则此时定义了系统参数矩阵M、C、K随时间的发展方向集合，可以利用数值积分的方法来求解该微分系统的解.但该方法只能求出解耦后的系统参数MD、CD和KD，却无法求得解耦变换TL和TR.
2 基于保结构同谱流的系统对角化
2.1 保结构同谱流的实现
系统参数矩阵M，C，K的同时对角化可用一个目标函数来表示，即
其中，‖·‖F表示矩阵的Frobenius范数；offdiag(M)为矩阵M非对角线上的部分.式(15)前半部分为三个系数矩阵非对角线上元素的平方和(全局最优值为0)，对应于三矩阵的对角形式；后半部分为系数矩阵对角线上元素的平方和.
式(15)描述目标数下降最快的方向为其负梯度方向：
系统参数矩阵M，C，K沿着最接近目标函数负梯度的方向发展变化，则在一定的迭代步数后便可实现系统的对角化.按照矩阵的Kronecker积相关知识，式(14)可表示为
其中，vec(X)表示矩阵X的按列向量化.为使M，C，K沿着接近目标函数负梯度的方向发展变化，给出自由参数矩阵D，NL，NR的最小二乘估计：
其中，X+表示矩阵X的Moore-Penrose广义逆.
2.2 解耦变换的求解
若令
则寻找一对非奇异的Πl，和Πr，满足
显然，当M与MD非奇异时，B与BD非奇异，且
将式(16)变形，得
式(17)中方程2可化为Sylvester方程的一般形式：
其中：为已知矩阵；X=Πr为待求矩阵.式(18)可转化为齐次线性方程组求解问题，其方程式为
因为解耦前后系统具有相同的谱信，式(19)必有非零解，且不难找到非奇异的Πr=unvec(X).其中，vec表示矩阵的向量化函数；unvec表示向量的矩阵化函数[7].
3 船舶运动系统解耦实例
对船模水池实验获得的船舶纵向运动方程数据进行解调算法仿真(其中，船舶重量为425 t，船长为60 m).实验中船模航速为18 kn.表1为2个频率下的运动水动力参数.
表1 舰船纵向运动水动力参数
|
遭遇频率 a33 a35 a53 a55 b33 b35 b53 b55 |
|
1.308 5.45×102 1.37×103 2.41×103 9.55×104 5.26×102 9.75×103 －4.92×102 1.72×105 1.068 4.79×102 －2.05×102 2.82×103 7.81×104 7.98×102 1.00×104 8.06×102 2.26×105 |
利用Matlab编译代码，并调用其ode函数实现保结构同普流算法及相应的解耦变换方法.当遭遇频率为1.308时，解耦变换及对应的解耦后系统分别为：
图1为三个参数矩阵对角线上元素的平方和与的目标函数的变化曲线.由图1可知，曲线最终趋于平稳.图2为非对角线元素平方和的变化曲线.由图2可知，曲线最终趋于零，实现了三个参数矩阵的同时对角化.
当遭遇频率为1.068时，解耦变换及对应的解耦后系统分别为：
图3为三个参数矩阵对角线上元素平方和与目标函数变化曲线；图4为非对角线元素平方和的变化曲线.
从实验结果可以看出，该方法在极小误差下实现了舰船纵向运动系统的数值解耦，保证了系统的同谱性质.给出的相应的解耦变换进一步完善了系统的解耦理论.
4 结 论
本文将保结构同谱流方法引入舰船纵向运动的解耦研究中，通过选定合理的系统参数来实现纵摇和升沉运动的解耦.对保结构同谱方法进行改进，将求解寻找解耦变换的非线性问题转化为Sylvester方程求解，并利用矩阵的卡式积理论给出解耦变换.根据水池实验获得的纵向运动数据进行算法仿真，给出浪向角为0°，航速为18 kn时两个频率下的舰船纵向运动系统解耦结果.数值试验结果表明，该方法可将原始舰船纵向运动系统解耦，并给出相应的解耦变换.
参考文献(References)：
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[3]GARVEY S D，FRISWELL M I，PRELLS U.Co-ordinate transforms for second order systems，I:General transforms[J].Journal of Sound and Vibration，2002，258(5): 885-909.
[4]GARVEY S D，FRISWELL M I，PRELLS U.Co-ordinate transforms for second order systems，II:Elementary structure-preserving transforms [J].Journal of Sound and Vibration，2002，258(5):911-930.
[5]CHU M T，BUONO N D.Total decoupling of a general quadratic pencil，Part I:Theory [J].Journal of Sound and Vibration，2008，309(1-2):96-111.
[6]CHU M T，BUONO N D.Total decoupling of a general quadratic pencil，Part II:Structure preserving isospectral flows[J]. Journal of Sound and Vibration，2008，309(l2):112-128.
[7]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社，2004.
作者：王淑娟，沈继红，李积德 来源：大连海事大学学报
